Уравнение состояния сверхплотного вещества

Учреждение образования «Брестский государственный университет

имени А.С.Пушкина»

Физический факультет

Кафедра теоретической физики и астрономии

Реферат по специализации

«Теоретическая физика»

Уравнение состояния сверхплотного вещества.

Брест 2010

Уравнение состояния для Ае- и Аеп-фаз вещества

Мы будем иметь дело с моделями звездных конфигураций, состоящих из вырожденных газовых масс. Это конфигурации белых карликов и барионных звезд. Под последними подразумеваются модели небесных тел, состоящих из вырожденного барионного газа. В расчетах параметров этих звездных конфигураций нужно иметь уравнение состояния вещества. Нас интересуют только вырожденные состояния вещества.

Начнем с рассмотрения Ае-фазы. Она состоит из голых атомных ядер и свободного вырожденного электронного газа. При достаточно низких температурах движение ядер сводится лишь к тому, что они совершают нулевые колебания около фиксированных точек равновесия. Поэтому они не дают никакого вклада в давление вещества. Давление целиком обусловлено электронами, плотность же энергии определяется атомными ядрами.

Плотность энергии равна

с = (т_пс² +b)? 2 А_кп_к + _e (1)

где b -- средняя энергия связи нуклона в ядрах (здесь нет смысла различать массы протона и нейтрона), п_к -- число ядер данного типа (с параметрами А_к и Z_к) в единице объема, с_е -- плотность энергии электронного газа. В условиях наличия вырожденного электронного газа b является функцией _е .Согласно

с_е = 4Ке(х_е (1 + 2х²_e)-(х_е + )) (2)

где, х_е = с_е/m_ес = (3)^{1 /3}hn_e^1/3 m_e с -- граничный импульс электронов в единицах m_ес (при р_е>> т_ес, х_е = _е/т_е с²) и

Ке (3)

Иногда удобно взамен х_e использовать параметр t_е:

t_е =4arsh x_e (4)

С помощью этого параметра плотность энергии электронов запишется в следующем компактном виде:

с_e = Ке(sh t_e- t_e). (5)

В выражении энергии (1) можно произвести некоторые упрощения. Так,

?A_kn_k=?Z_kn_k=n_e

где А/Z есть средняя величина отношения А_к/Z_к (усредненная по всем типам ядер, имеющихся в среде). Учитывая последнее и пренебрегая малыми величинами b и с_е, получаем

с= (6)

Напомним, что из-за явления нейтронизации отношение А/ Z является функцией х_е, эта зависимость аппроксимирована полиномом. Теперь вычислим давление. Оно равно производной энергии по объему с обратным знаком, при постоянном числе частиц и энтропии (в данном случае энтропия равна нулю). Так как парциальное давление ядер не учитывается, то

P=-()_Ne=-()_Ne

где N_е = Vп_е -- число электронов в некотором объеме V. При дифференцировании с_е нужно учесть, что х_е зависит от объема V. Имея в виду (2), находим для давления

Р = Ке [x_е (2 - 3) +3].(7)

Учитывая также формулу, уравнение состояния вещества в Aе-фазе можно записать в следующем параметрическом виде:

( ³ K _n (2+a₁x_e+a₂ +a₃ ,

P=()⁴K (8)

Где a_1,a₂, а₃ -- постоянные, входящие в формулу: а₁= 1,255 10^-2, а₂=1,75510^-5, а₃=1,37610^-6; кроме того, мы ввели также новое обозначение

К_п= 5,11 10³⁵ эргсм^-3, (9)

которое будет встречаться в дальнейшем.

Рассмотрим два важных предельных случая уравнения состояния (8). В нерелятивистском случае параметр х_е мал по сравнению с единицей. Разложим Р в ряд по степеням х_е и отбросим малые величины в выражениях с и Р; исключая параметр х, получим

Р=Aс^5/3, (10)

Где

A= )^{5/3 -23} )^5/3

Величина з= A/Z для всех ядер, за исключением водорода.

Р=B с^4/3, (11)

Где

B=5,6410^-14 )^4/3

В выражении для плотности энергии мы опустили b и с_е.

Энергия связи нуклона в ядре имеет значение в интервале 0<b8 Мэв. У порога исчезновения Aе-фазы Р 10²⁹ эргсм^-3, а отношение парциальных плотностей энергии электронов и ядер порядка

Таким образом, b и с_е действительно достаточно малы и в расчетах звездных конфигураций не могут играть сколько-нибудь заметную роль.

В приведенном уравнении состояния не учтено взаимодействие частиц. Здесь мы имеем дело только с кулоновскими силами . Было показано, что потенциальная энергия электрона, обусловленная электрическими силами, мала по сравнению с его кинетической энергией, причем с возрастанием плотности отношение их уменьшается. Таким образом, приближение идеального газа здесь вполне оправдано. Ряд поправок к выражению давления (8), обусловленных кулоновскими взаимодействиями. Поправки к Р некоторую роль могут играть лишь при больших Z и х<1. Изменения, обусловленные температурой, тоже несущественны. Здесь важным является эффект зависимости А/Z от граничной энергии электронов.

Уравнение состояния (8) применимо до x=46, чему соответствует плотность с2,410³² эргсм^-3. При больших плотностях мы имеем дело с Aen-фазой, где уравнение состояния другое.

Введем параметр

t_n =4arsh x_n ,

тогда с_п и Р_п запишутся в следующем виде:

с_n=K_n(sh t_n - t_n),

P_n= K_n(sh t_n - 8sh).(13)

Учитывая также энергию атомных ядер, парциальное давление и плотность энергии электронов, для уравнения состояния Aen-фазы вещества получаем

с=K_n(sh t_n - t_n)+m_nc²,

P= K_n(sh t_n - 8sh)+P_e.(14)

Здесь с_е и Р_e --плотность энергии и давление электронного газа. Заметим, что чуть выше порога появления Aen-фазы парциальная плотность энергии и давление электронов (можно даже сказать -- плотность энергии атомных ядер) достаточно малы по сравнению с соответствующими величинами для нейтронного газа. Здесь почти на всем протяжении фазы энергия и давление системы в основном определяются нейтронным газом.

Вообще говоря, в Aen-фазе следовало бы учитывать ядерные взаимодействия между нейтронами. Их вклад несуществен для энергии, но, по-видимому, является важным для давления: при заданном числе нейтронов учет ядерных сил приведет к уменьшению давления. Насколько нам известно, в рассматриваемой области плотностей теория ядерной материи как следует не разработана, поэтому мы довольствуемся приближением идеального газа. Уравнение состояния (14) справедливо в области плотностей 2,410³² с 5.4510³⁴ эргсм^-3.

Об асимптотическом виде уравнения состояния

Целесообразно сначала исследовать асимптотическое поведение вида уравнения состояния при чрезвычайно больших плотностях. Здесь можно достичь определенного результата, исходя из совершенно общих соображений. В опытах по рассеянию быстрых протонов на нуклонах было установлено наличие весьма интенсивных сил отталкивания, действующих на расстояниях r210^-14 см. Этот экспериментальный факт дает некоторое основание утверждать, что в надъядерной области с возрастанием плотности массы состояние барионной плазмы (мы говорим о барионной плазме, поскольку концентрация лептонов в ней очень мала) все больше отходит от газа и постепенно приближается к состоянию идеальной жидкости.

Можно доказать, что при любом типе взаимодействия, если только энергия взаимодействия частиц больше их кинетической, известный закон Р с/3 обязательно нарушается, т. е. давление при достаточно больших плотностях может иметь значения выше с/3. Соотношение ЗР имеет место для идеального газа и в тех случаях, когда поля настолько слабы, что при любых плотностях кинетическая энергия частиц всегда больше их энергии взаимодействия. Такими полями являются электромагнитное, гравитационнное и некоторые типы мезонных полей.

Литература

1. Саакян, Г.С. Равновесные конфигурации вырожденных газовых масс / Г.С. Cаакян.-М.: Наука, 1972.

2. Секержицкий, В.С., Секержицкий, С.С. К вопросу о параметрах холодного сверхплотного вещества с учетом плотности ядер//К 100-летию со дня рождения Гейзенберга. - 2001, БрГУ.